Pythagoras Læresætning

Lær hvordan man bruger Pythagoras læresætning til at beregne den ubekendte sidelængde på en retvinklet trekant. Nederst på siden er der gratis øvelsesopgaver, så du kan teste dig selv i pythagoras læresætning.

Pythagoras læresætning siger, at hvis man har en retvinklet trekant (på 90 grader), så er hypotenusen i anden lig med summen af a i anden plus b i anden. Pythagoras læresætning viser altså forholdet mellem de tre sider på en retvinklet trekant.

Formlen er:

\[c^2 = a^2 + b^2 \]

Pythagoras læresætning er en af de mest berømte geometriske sætninger og er opkaldt efter den græske matematiker og filosof Pythagoras, som levede i det 6. århundrede f.Kr.

Læs mere om at få lektiehjælp i matematik

Skræddersyet Lektiehjælp

Få lektiehjælp tilpasset dit barns behov fra 229 kr. i timen.

Prøv nu - helt gratis

Hvad er en retvinklet trekant?

En retvinklet trekant er en trekant, hvor en af vinklerne er 90 grader. Forholdet mellem siderne på trekanten er nemme at forholde sig til, når man bruger Pythagoras læresætning. Siden, som er modsat den rette vinkel er altid den længste side og er den man kalder for hypotenusen. Forholdet mellem siderne og andre vinkler i trekanten er basis for emnet trigonometri.

Hvad er hypotenusen?

Hypotenusen er som sagt den retvinklede trekants længste side. Siden ligger modsat den rette vinkel. Hypotenusen kan udregnes ved hjælp af pythagoras læresætning og refereres til som c. Pythagoras læresætning angiver som bekendt, at summen af hypotenusen i anden, er lig med summen af trekantens to andre kanter (kateterne) i anden. For eksempel, hvis en af trekantens andre sider er lig med 4 (\(4^2=16\)) og den anden side 3 (\(3^2 =9\)), så vil hypotenusen længde være kvadratroden af 25 (\(25+16=41\)), hvilket er 5.

Hvad er en katete?

Trekantens sider som ikke er hypotenusen kaldes for en katete. Retvinklede trekanter vil altid have to kateter og de vil altid være vinkelret på hinanden. Det er altså trekantens to sider, som støder til den rette vinkel.  Trekantens kateter refereres til som a og b i læresætningen.

Beregn den ubekendte sidelængde på en retvinklet trekant

I denne video forklarer Yasim El Youssef hvordan man beregner den ubekendte sidelængde på en retvinklet trekant.

Eksempel opgave:  En retvinklet trekant har to kateter på henholdsvis a = 4 cm og b = 3 cm. Hvad er længden af hypotenusen c?

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Indsætter de givne værdier på deres plads:

\[ 4^2 + 3^2  = c^2\]

Udregner værdierne i anden:

\[ 16 + 9  = c^2\]

Plusser dem sammen:

\[ 25  = c^2\]

Tager kvadratroden på begge sider for at finde c:

\[  \sqrt{25}  = c\]

Svaret bliver dermed:

\[  5 cm = c\]

Hvis du stadig er i tvivl om hvordan man beregner den ubekendte sidelængde på en retvinklet trekant eller har nogle andre spørgsmål, så kan det godt være en god ide at enten se videoen igen ellers er du velkommen til at kontakte os på www.toptutors.dk/kontakt for at få ekstra hjælp med en tutor.

Test dig selv i pythagoras læresætning

Gratis øvelsesopgaver i pythagoras læresætning. Opgaverne er lavet ud fra matematik færdighedsregning til elever i 7. - 10. klasse. Prøv at løse opgaverne uden brug af hjælpemidler eller lommeregner.

Opgave 1. En retvinklet trekant har to kateter på henholdsvis a = 3 cm og b = 4 cm. Hvad er længden af hypotenusen c?

Svarmuligheder:

a. $c = 3 cm$

b. $c = 4 cm$

c. $c = 5 cm$

Opgave 2. En retvinklet trekant har to kateter på henholdsvis a = 16 cm og b = 12 cm. Hvad er længden af hypotenusen c?

Svarmuligheder:

a. $c = 10 cm$

b. $c = 20 cm$

c. $c = 30 cm$

Opgave 3. En retvinklet trekant har to kateter på henholdsvis a = 8 cm og b = 6 cm. Hvad er længden af hypotenusen c?

Svarmuligheder:

a. $c = 10 cm$

b. $c = 5 cm$

c. $c = 9 cm$

Opgave 4. En retvinklet trekant har to kateter på henholdsvis a = 1 cm og b = 2 cm. Hvad er længden af hypotenusen c?

Svarmuligheder:

a. $c = \sqrt{3} cm$

b. $c = \sqrt{5} cm$

c. $c = 2,5 cm$

Opgave 5. En retvinklet trekant har sidelængderne c = 5 cm og b = 4 cm. Hvad er længden af kateten a?

Svarmuligheder:

a. $a = 4 cm$

b. $a = 3 cm$

c. $a = 6 cm$

Opgave 6. En retvinklet trekant har sidelængderne c = 20 cm og a = 12 cm. Hvad er længden af kateten b?

Svarmuligheder:

a. $b = 11 cm$

b. $b = 18 cm$

c. $b = 16 cm$

Pythagoras læresætnings historie

Pythagoras læresætning blev introduceret af den græske matematiker Pythagoras af Samos. Pythagoras var en græsk filosof som havde samlet sig en gruppe af matematikere, der arbejde meget intenst med tal og levede som munke. Den græske filosof er især kendt for denne læresætning, som også er opkaldt efter ham.

Selvom især Pythagoras var en af dem der angav denne sætning og gjorde den populær, menes der også at være bevis for at den har eksisteret i andre civilisationer, endda århundreder før Pythagoras blev født. De ældste kendte beviser fører os tilbage til mellem det 20. og 16. århundrede før kristi fødsel bl.a.  i forbindelse med bygningsværker som pyramiderne og stonehenge.

Læs mere om at få matematik lektiehjælp

Hvorfor skal man lære om Pythagoras læresætning?

Udover at denne læresætning danner basis for vores viden om trigonometri, bruges denne formel faktisk også flere steder end man lige skulle tro.

Pythagoras læresætning bliver også brugt i vores hverdag bl.a. til:

Anisgtsgenkendelses-funktionen i overvågningskameraer bruger læresætningens koncept til bl.a. at afgøre distancen mellem kameraet og personens lokation.

Læresætningen bruges også til design af interiør og i alle former for arkitektoniske byggerier.

Læresætningen bruges også til todimensionel navigation. Det kan f.eks. være hvis man er ude at sejle på vandet og skal udregne den hurtigste vej til et bestemt punkt. Det kunne f.eks. være 700 meter nord og 550 meter vest. Distancerne nord og vest ville være kateterne og den korteste linje der forbinder disse to ville være hypotenusen.

Læs mere om at få matematik lektiehjælp